Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3，若此數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計(jì)算題

分析：由題意得（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0對(duì)所有的正整數(shù)都成立，分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，分別分離出λ后，利用數(shù)列的函數(shù)特性以及n的取值，求出式子的最大值或最小值，即得到λ的取值范圍，再求兩部分的交集．

解答： 解：由題意得，a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0對(duì)所有的正整數(shù)都成立，
即（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化為：λ＞-3-

1

2n

對(duì)所有的正整數(shù)都成立，
又-3-

1

2n

＜-3對(duì)所有的正整數(shù)都成立，則λ≥-3，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化為：λ＜3-

1

2n

對(duì)所有的正整數(shù)都成立，
又3-

1

2n

≥

5

2

對(duì)所有的正整數(shù)都成立，則λ＜

5

2

，
綜上得，λ的取值范圍是[-3，

5

2

），
故答案為：[-3，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意n的取值，屬于中檔題．