Question

3．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）左右焦點分別為F₁、F₂，以F₁F₂為邊作正三角形，與雙曲線在第一二象限的交點恰是所在邊中點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的對稱性可推斷出三角形的頂點在y軸，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得頂點的坐標，進而求得正三角形的邊與雙曲線的交點，代入雙曲線方程與b²=c²-a²聯(lián)立整理求得e．

解答 解：雙曲線恰好平分正三角形的另兩邊，
頂點就在Y軸上坐標是（0，$\sqrt{3}$c）或（0，-$\sqrt{3}$c），
那么正三角形的邊與雙曲線的交點就是邊的中點（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}•c}{2}$c）
在雙曲線上代入方程$\frac{{c}^{2}}{{4a}^{2}}$-$\frac{{3c}^{2}}{{4b}^{2}}$=1
聯(lián)立 b²=c²-a²求得e⁴-8e²+4=0
求得e=$\sqrt{3}$+1，
故選：C．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學生對雙曲線基礎(chǔ)知識的綜合把握，屬于中檔題．