Question

2．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}$，
（1）求角C的大��；（2）若cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）將切化弦化簡條件式，利用正弦定理消去sinA，sinB，得出cosC；
（2）利用兩角和差的三角函數(shù)公式計算．

解答 解：（1）在△ABC中，∵1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}$，∴1+$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{2a}$，即$\frac{sinA}{sinBcosC}=\frac{2a}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosB=cos（B+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（B+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（B+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
sinB=sin（B+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（B+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（B+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$，
∴sinA=sin（$\frac{2π}{3}-B$）=sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

點評 本題考查了正弦定理，兩角和差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題．