Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，使得為定值

【解析】試題分析：（1）由題意的離心率公式求得，將代入橢圓方程，即可求得和，從而可得橢圓方程；（2）在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，若直線的斜率存在，設(shè)的科率為，由代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合恒成立思想，即可得到定點(diǎn)和定值；檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)，也成立.

試題解析：（1）由， ，解出 可得橢圓的方程為.

（2）由直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，

當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，可設(shè)

代入橢圓方程，并整理得

設(shè)， ，則，

設(shè)，則

為定值，

則，解得

故存在定點(diǎn)，使得為定值.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.