Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓M的離心率為

1

2

，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形中面積的最大值為

3

．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）已知點P（4，0），聯(lián)結(jié)AP與橢圓的另一交點記為B，若AP與橢圓相切則視為A，B重合，聯(lián)結(jié)BF₂與橢圓的另一交點記為C，求

PA

•

F2C

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓M的離心率為

1

2

，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形中面積的最大值為

3

，可得：

c

a

=

1

2

，

1

2

×2c×b=

3

，求出幾何量，即可求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），AP的方程為：y=k₁（x-4）代入橢圓方程，求出x1x2=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

；BF₂的方程為：y=k₂（x-1）代入橢圓方程，求出x2x3=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

，根據(jù)x₁=x₃，A，C不重合，可得y₃=-y₁，進而表示出

PA

•

F2C

，即可求出其取值范圍．

解答： 解：（I）由題可知：

c

a

=

1

2

，

1

2

×2c×b=

3

解得：a=2，b=

3

，c=1
故橢圓M的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（II）不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
由題意可知直線AP的斜率是存在的，故設直線AP的斜率為k₁，直線BF₂的斜率為k₂，
AP的方程為：y=k₁（x-4）代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1得(4k12+3)x2-32k12x+64k12-12=0，
x1x2=

64k12-12

4k12+3

=16-

60

4k12+3

將k1=

y2

x2-4

y

2 2

=3-

3

4

x

2 2

代入解得：x1x2=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

…（7分）
BF₂的方程為：y=k₂（x-1）代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1得(4k22+3)x2-8k22x+4k22-12=0，
x2x3=

4k22-12

4k22+3

=1-

15

4k22+3

將k2=

y2

x2-1

，

y

2 2

=3-

3

4

x

2 2

代入解得：x2x3=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

…（9分）
∴x₁=x₃，
又∵A，C不重合，∴y₃=-y₁…（10分）
∴

PA

•

F2C

=(x1-4，y1)•(x1-1，-y1)=

x

2 1

-5x1+4-

y

2 1

=

7

4

x

2 1

-5x1+1=

7

4

(x1-

10

7

)2-

18

7

（-2＜x₁＜2）…（12分）
∴-

18

7

≤

PA

•

F2C

＜18…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．