Question

【題目】已知函數(shù)， ．

⑴ 若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；

⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

⑶ 設(shè)，若對， ，使得成立，求整數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】⑴⑵⑶

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得曲線 在點處的切線方程，代入點，計算可得答案；
（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分函數(shù)在（上單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況討論，綜合即可得答案；
（3）由題意得， 分析可得必有 ，對求導(dǎo)，對分類討論即可得答案．

試題解析：

⑴由題意得， ，

， ，

曲線在點處的切線方程為，

代入點，得， .

⑵，

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立，

，得；

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，

，得，

綜上，實數(shù)的取值范圍為；

⑶由題意得， ，

，

，即，

由，

當(dāng)時， ，則不合題意；

當(dāng)時，由，得或（舍去），

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增．

，即，

整理得， ，

設(shè)， ， 單調(diào)遞增，

， 為偶數(shù)，

又 ， ，

，故整數(shù)的最小值為。