Question

如圖，一矩形鐵皮的長(zhǎng)為8m，寬為3m，在四個(gè)角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，所得容器的容積V（單位：m³）是關(guān)于截去的小正方形的邊長(zhǎng)x（單位：m）的函數(shù)．
（1）寫出關(guān)于x（單位：m）的函數(shù)解析式；
（2）截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則盒子容積為：y=（8-2x）•（3-2x）•x為三次函數(shù)，
（2）用求導(dǎo)法，可得x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值，此時(shí)盒子容積最大．

解答： 解：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則x∈（0，1.5）；
盒子容積為：y=（8-2x）•（3-2x）•x=4x³-22x²+24x，
（2）對(duì)y求導(dǎo)，得y′=12x²-44x+24，令y′=0，得12x²-44x+24=0，解得：x=1，x=

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（舍去），
所以，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜1.5時(shí)，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值4；
所以，小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，盒子容積最大，最大值為4cm³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的三次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用求導(dǎo)法求得三次函數(shù)在其定義域上的最值問題，是中檔題．