Question

7．設(shè)A為拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，過A作直線交拋物線于B、C，又過焦點(diǎn)F作直線AB的平行線交拋物線于Q、R，求證：|AB|•|AC|=|FQ|•|FR|

Answer 1

分析 由題意，BC，QR的斜率均存在，設(shè)BC：y=k（x+$\frac{p}{2}$），x=$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$，再利用韋達(dá)定理，可得bc=$\frac{{p}^{2}}{k}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：由題意，BC，QR的斜率均存在，設(shè)為k，則令B（b′，b），C（c′，c），Q（q′，q），R（r′，r），A（-$\frac{p}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），
BC：y=k（x+$\frac{p}{2}$），x=$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$，
∴y²=2p（$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$），
∴ky²-2py+p²=0，
∴bc=$\frac{{p}^{2}}{k}$，
∴|AB|²|AC|²=[（b′+$\frac{p}{2}$）²+（b-0）²][（c′+$\frac{p}{2}$）²+（c-0）²]
=[（$\frac{k}$）²+b²][（$\frac{c}{k}$）²+c²]=$（1+\frac{1}{{k}^{2}}）$²（bc）²=$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}{p}^{2}}{{k}^{6}}$，
同理，|FQ|²|FR|²=$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}{p}^{2}}{{k}^{6}}$，
∴|AB|•|AC|=|FQ|•|FR|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．