Question

14．計算
（1）${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx的值．
（2）${∫}_{-3}^{3}$（|x+1|+|x-1|-4）dx；
（3）${∫}_{a}^$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx（b＞a）
（4）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sin³xcosx）dx；
（5）${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x（x+1）}$dx．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的計算法則和定積分的幾何意義分別求出即可．

解答 解：（1）${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$）dx表示以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓的面積的二分之一，故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$）dx=$\frac{9π}{2}$
${∫}_{-3}^{3}$x³dx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$|${\;}_{-3}^{3}$=0，
故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx=$\frac{9π}{2}$；
（2）${∫}_{-3}^{3}$（|x+1|+|x-1|-4）dx=${∫}_{1}^{3}$（x+1+x-1-4）dx+${∫}_{-1}^{1}$（x+1+1-x-4）dx+${∫}_{-3}^{-1}$（-x-1+1-x-4）dx，
=${∫}_{1}^{3}$（2x-4）dx+${∫}_{-1}^{1}$（-2）dx+${∫}_{-3}^{-1}$（-2x-4）dx=（x²-4x）|${\;}_{1}^{3}$-2x|${\;}_{-1}^{1}$-（x²+4x）|${\;}_{-3}^{-1}$=0-4-0=-4，
（3）設(shè)y=$\sqrt{（x-a）（b-x）}$，則y²=（x-a）（b-x），即（x-$\frac{a+b}{2}$）²+y²=（$\frac{b-a}{2}$）²，
則${∫}_{a}^$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx表示以（$\frac{a+b}{2}$，0）為圓心，以$\frac{b-a}{2}$為半徑的圓的面積二分之一，
故${∫}_{a}^$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx=$\frac{π（b-a）^{2}}{8}$
（4）因?yàn)閥=sin³xcosx為奇函數(shù)，
故${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sin³xcosx）dx=0，
（5）${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x（x+1）}$dx=${∫}_{1}^{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$）dx=[lnx-ln（x+1）]|${\;}_{1}^{2}$=ln$\frac{x}{x+1}$|${\;}_{1}^{2}$=ln$\frac{2}{3}$-ln$\frac{1}{2}$=ln$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了定積分了計算以及定積分的幾何意義，屬于中檔題．