Question

2．將函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位長度，再向下平移1個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）具有的性質(zhì)①③⑤．（填入所有正確的序號）
①最大值為$\sqrt{2}$，圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱；②在（-$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)；③最小正周期為π；④圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，⑤在（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷得解．

解答 解：將函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位長度，
得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$]+1=$\sqrt{2}$sin2x+1的圖象；
再向下平移1個單位長度后，得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin2x的圖象，
∵g（x）=$\sqrt{2}$sin2x的最大值為$\sqrt{2}$，令2x=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得解得函數(shù)的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
當k=1時，可得x=$\frac{3π}{4}$，即其圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱，故①正確；
∵g（x）=$\sqrt{2}$sin2x為奇函數(shù)，故②錯誤；
∵最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故③正確；
∵$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\sqrt{2}$，故④錯誤；
∵令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
當k=0時，可得函數(shù)在（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于基礎(chǔ)題．