Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=x²，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，點(diǎn)（n，s_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}，b_n=a_n.2ⁿ，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，s_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．可得S_n=n²．利用遞推式可得a_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，s_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
∴S_n=n²．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）．
（2）由（1）得知：b_n=a_n.2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
故T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減的：-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．