Question

6．設(shè)拋物線C₁：y²=4x的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓記作C₂
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點F₂，與拋物線C₁交于A₁，A₂兩點，與橢圓C₂交于B₁，B₂兩點．當以B₁B₂為直徑的圓經(jīng)過F₁時，求|A₁A₂|長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓的標準方程；
（2）當直線l與x軸垂直時，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），不滿足條件，當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），由由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.即（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì)、弦長公式能求出|A₁A₂|．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y²=4x的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂，
以F₁、F₂為焦點，離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓記作C₂，
∴橢圓C₂的焦點坐標為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）當直線L與x軸垂直時，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），
此時$\overrightarrow{{B_1}{F_1}}•\overrightarrow{{B_2}{F_1}}≠0$，所以以B₁B₂為直徑的圓不經(jīng)過F₁．不滿足條件；
當直線L不與x軸垂直時，設(shè)L：y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.即（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，
因為焦點在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個交點．
設(shè)B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
因為以B₁B₂為直徑的圓經(jīng)過F₁，所以$\overrightarrow{{B_1}{F_1}}•\overrightarrow{{B_2}{F_1}}=0$，又F₁（-1，0），
所以（-1-x₁）（-1-x₂）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0
所以解得${k^2}=\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
因為直線L與拋物線有兩個交點，所以k≠0，
設(shè)A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），則${x_3}+{x_4}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}，{x_3}{x_4}=1$，
所以$|{{A_1}{A_2}}|={x_3}+{x_4}+p=2+\frac{4}{k^2}+2=\frac{64}{9}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查弦長的求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì)、弦長公式的合理運用．