Question

1．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)方程與曲線(xiàn)y²=x所圍成圖形面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值；
（2）把a(bǔ)=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)直線(xiàn)方程，再由定積分公式，計(jì)算即可得到所求面積．

解答 解：（1）由f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，x＞0知：
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=a．
又當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a-alna，無(wú)極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a-alna，無(wú)極大值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$（x＞0），
因而f（1）=1，f′（1）=-1，
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為
y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
由y=2-x和解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（4，-2），
則圍成圖形面積為${∫}_{-2}^{1}$（2-y-y²）dy=（2y-$\frac{1}{2}$y²-$\frac{1}{3}$y³）|${\;}_{-2}^{1}$
=（2-$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）-（-4-2+$\frac{8}{3}$）=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及定積分的運(yùn)用，屬中檔題．