Question

1．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值．
（2）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程與曲線y²=x所圍成圖形面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)可知，當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當a＞0時，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值；
（2）把a=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程，再由定積分公式，計算即可得到所求面積．

解答 解：（1）由f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，x＞0知：
①當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值；
②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a．
又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．
從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a-alna，無極大值．
綜上，當a≤0時，函數(shù)f（x）無極值；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a-alna，無極大值．
（2）當a=2時，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$（x＞0），
因而f（1）=1，f′（1）=-1，
所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為
y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
由y=2-x和解得交點坐標為（1，1），（4，-2），
則圍成圖形面積為${∫}_{-2}^{1}$（2-y-y²）dy=（2y-$\frac{1}{2}$y²-$\frac{1}{3}$y³）|${\;}_{-2}^{1}$
=（2-$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）-（-4-2+$\frac{8}{3}$）=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論的數(shù)學思想以及定積分的運用，屬中檔題．