Question

7．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周長(zhǎng)為4．
（1）當(dāng)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時(shí)，求直線BA₁與平面A₁CD所成角；
（2）線段A₁C上是否存在一點(diǎn)P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P點(diǎn)的位置，沒有請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)AB=b，AD=2-b，分別以AB，AD，AA₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而可寫出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件即可求出b=1．設(shè)平面A₁CD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，設(shè)直線BA₁和平面A₁CD所成角為θ，由sin$θ=|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{1}}＞|$即可求出θ；
（2）設(shè)存在P點(diǎn)滿足條件，設(shè)P（x，y，z），從而有$\overrightarrow{{A}_{1}P}=t\overrightarrow{{A}_{1}C}$，這樣即可用t，b表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$即可求出b，t，從而能夠確定出P點(diǎn)的位置．

解答 解：設(shè)AB=b，則AD=2-b，分別以邊AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，2-b，0），D（0，2-b，0），A₁（0，0，1）；
（1）根據(jù)條件，2（AB+AD）=4；
∴2=AB+AD≥2$\sqrt{AB•AD}$；
∴AB•AD≤1，當(dāng)AB=AD=1時(shí)取“=”，∴此時(shí)b=1，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）；
∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{C{A}_{1}}=（-1，-1，1）$，設(shè)平面A₁CD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=-{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-{x}_{1}-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取z₁=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，1）$；
設(shè)直線BA₁與平面A₁CD所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{1}}＞|$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴θ=30°；
即直線BA₁和平面A₁CD所成角為30°；
（2）假設(shè)在線段A₁C上存在點(diǎn)P滿足條件，設(shè)P（x，y，z），∴存在t，使$\overrightarrow{{A}_{1}P}=t\overrightarrow{{A}_{1}C}$；
∴（x，y，z-1）=t（b，2-b，-1）；
∴P（bt，（2-b）t，1-t），$\overrightarrow{BP}=（b（t-1），（2-b）t，1-t）$，$\overrightarrow{BD}=（-b，2-b，0）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3t-b-1=0}\\{2-2b=0}\end{array}\right.$；
∴$b=1，t=\frac{2}{3}$；
即只有當(dāng)?shù)酌嫠倪呅问钦�方形時(shí)才有符合要求的點(diǎn)P，位置是線段A₁C上A₁P：PC=2：1處．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角，解決線面垂直問題的方法，基本不等式的運(yùn)用，長(zhǎng)方體的體積公式，以及平面法向量的概念及求法，直線和平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，線面垂直的性質(zhì)，兩向量垂直的充要條件．