Question

2．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設直線l₁；y=x+m₁與橢圓交于A、B兩點，直線l₂：y=x+m²與橢圓交于C、D兩點，若四邊形ABCD是平行四邊形，求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，計算即可得到橢圓方程；
（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理再由三角形的面積公式和基本不等式，計算即可得到△ABO的面積的最大值，再由四邊形ABCD的面積為S=4S_△OAB．即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直線l₁；y=x+m₁與橢圓方程聯(lián)立，可得
5x²+8m₁x+4m₁²-4=0，
則x₁+x₂=-$\frac{8{m}_{1}}{5}$，x₁x₂=$\frac{4（{{m}_{1}}^{2}-1）}{5}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{64{{m}_{1}}^{2}}{25}-\frac{16（{{m}_{1}}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$•$\sqrt{5-{{m}_{1}}^{2}}$，
O到直線AB的距離為d=$\frac{|{m}_{1}|}{\sqrt{2}}$，
即有△OAB的面積為S_△OAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{2}{5}$$\sqrt{{{m}_{1}}^{2}（5-{{m}_{1}}^{2}）}$
≤$\frac{2}{5}$$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}}$=1，當且僅當m₁²=$\frac{5}{2}$，即m₁=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，取得最大值1．
即有四邊形ABCD的面積為S=4S_△OAB，且最大值為4．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和弦長公式，基本不等式，考查化簡整理的運算能力．