Question

15．已知橢圓C：3x²+4y²=12和點(diǎn)Q（4，0），直線l過(guò)點(diǎn)Q且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（可以重合）．
（Ⅰ）若∠AOB為鈍角（O為原點(diǎn)），試確定直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于長(zhǎng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A₁，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷A₁和F，B三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)直線l的方程為my=x-4，與橢圓方程聯(lián)立化為（3m²+4）y²+24my+36=0，△≥0，解得m²≥4．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由∠AOB為鈍角（O為原點(diǎn)），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．
（II）由（I）可得A₁（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0）．$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（x₁-1，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），利用向量共線定理即可判斷出．

解答 解：（I）設(shè)直線l的方程為my=x-4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化為（3m²+4）y²+24my+36=0，
△=（24m）²-4（3m²+4）×36≥0，解得m²≥4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則y₁+y₂=$\frac{-24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$．
∵∠AOB為鈍角（O為原點(diǎn)），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，化為（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16＜0．
∴$\frac{36（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+4}$-$\frac{96{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$+16＜0，
化為3m²＞25，
解得$-\frac{\sqrt{3}}{5}＜\frac{1}{m}＜\frac{\sqrt{3}}{5}$，且$\frac{1}{m}$≠0，
∴直線l的斜率的取值范圍是$（-\frac{\sqrt{3}}{5}，0）$∪$（0，\frac{\sqrt{3}}{5}）$．
（II）由（I）可得A₁（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0）．
$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（x₁-1，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂）．
∴（x₁-1）y₂+y₁（x₂-1）=（my₁+3）y₂+y₁（my₂+3）=2my₁y₂+3（y₁+y₂）=$\frac{72m}{3{m}^{2}+4}-\frac{72m}{3{m}^{2}+4}$=0，
∴$\overrightarrow{F{A}_{1}}$∥$\overrightarrow{FB}$，即A₁和F，B三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．