Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求銳二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，然后證明B₁F⊥平面AEF；
（2）過F作FM⊥AE，連結(jié)B₁M，說明∠B₁MF就是二面角B₁-AE-F的平面角，然后通過解三角形求出所求角的大�。�

解答 （1）證明：由條件知AF⊥平面CCBB₁，
令A(yù)C=1∴AF⊥B₁F，
經(jīng)計算得${B_1}F=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{B_1}E=\frac{3}{2}$，
∴${B_1}{E^2}={B_1}{F^2}+E{F^2}$，即B₁F⊥EF，又因為EF∩AF=F，
∴B₁F⊥平面AEF；
（2）過F作FM⊥AE，連結(jié)B₁M，
由已知得EA⊥MF，EA⊥B₁F，
∴EA⊥平面B₁MF
∴EA⊥B₁M，
∴∠B₁MF就是二面角B₁-AE-F的平面角
經(jīng)計算得$MF=\frac{{\sqrt{30}}}{10}，{B_1}M=\frac{3}{5}\sqrt{5}$，
$cos∠{B_1}MF=\frac{MF}{{{B_1}M}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查計算能力．