Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow$=$（{1，m+\sqrt{3}sin2x}）$，且函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（Ⅰ）求f（x）解析式
（Ⅱ）若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，f（x）最大值為2，求m的值，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由x的范圍，可得2x+$\frac{π}{6}$的范圍，可得最大值，即可得到m=-1；再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1；
（Ⅱ）由x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值，且為m+3，
由題意可得m+3=2，解得m=-1；
則f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$；
由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{2π}{3}$．
則f（x）的增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）；
減區(qū)間為（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的值域和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．