Question

5．如圖所示，一條邊利用足夠長的墻，用12m長的籬笆圍出一塊五邊形的苗圃．已知EA⊥AB，CB⊥AB，∠C=∠D=∠E，設CD=DE=x（m），五邊形的面積為S．
（1）寫出苗圃面積S與x的函數(shù)關系式；
（2）當x為何值時，苗圃的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）已知AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．就可以求出五邊形的各個角的度數(shù)，連接EC，則△DEC是等腰三角形．四邊形EABC為矩形，在△DEC中若作DF⊥EC，依據(jù)三線合一定理以及三角函數(shù)就可以用DE表示出EC的長，再根據(jù)總長是12m，AE就可以用x表示出來，因而五邊形的面積寫成△DEC于矩形EABC的和的問題，就可以把面積表示成x的函數(shù)，
（2）利用配方法，即可求二次函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）連接EC，作DF⊥EC，垂足為F
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，
∵DE=CD
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEA=∠ECB=90°，
∴四邊形EABC為矩形，
∴DE=xm，
∴AE=6-x，DF=$\frac{1}{2}$x，EC=$\sqrt{3}$x，
∴S=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+6$\sqrt{3}$x（0＜x＜6）．
（2）S=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+6$\sqrt{3}$x=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-4）²+12$\sqrt{3}$．
當x=-$\frac{6\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=4m時，S最大=12$\sqrt{3}$m²．

點評 本題求最值問題解決的基本思路是轉化為函數(shù)問題，轉化為依據(jù)函數(shù)問題求最值的問題．