Question

10．設(shè)f（x）=x²+2xsinθ+1．
（1）當θ為何值時方程f（x）=0有解？求出該方程的解；
（2）若f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)減函數(shù)，求θ的取值范圍；
（3）若f（x）≥x²對一切實數(shù)θ成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）配方，結(jié)合非負數(shù)概念，解方程即可得到所求解；
（2）求出對稱軸方程，由圖象可得-sinθ≥$\frac{1}{2}$，運用正弦函數(shù)的圖象，即可得到所求范圍；
（3）f（x）≥x²對一切實數(shù)θ成立，可得2xsinθ+1≥0，由t=sinθ∈[-1，1]，可得2xt+1≥0，可設(shè)g（t）=2xt+1，運用一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+2xsinθ+1=（x+sinθ）²+1-sin²θ，
f（x）=0，可得x+sinθ=0，1-sin²θ=0，
解得sinθ=±1，x=-sinθ，
即為θ=2kπ±$\frac{π}{2}$，k∈Z時，方程有解，
當θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，方程解為x=-1；
當θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z時，方程解為x=1．
（2）函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-sinθ，
由f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)減函數(shù)，
可得-sinθ≥$\frac{1}{2}$，
解得2kπ+$\frac{7π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z；
（3）f（x）≥x²對一切實數(shù)θ成立，
可得2xsinθ+1≥0，
由t=sinθ∈[-1，1]，可得2xt+1≥0，
可設(shè)g（t）=2xt+1，即有g(shù)（-1）≥0，g（1）≥0，
即為1-2x≥0，1+2x≥0，
解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$．
即有x的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問題的解法，考查方程的解的求法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．