Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3cos$\frac{x}{3}$，sin$\frac{x}{3}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{6}$，-3sin$\frac{x}{6}$），函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$．
（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在給定的坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)f（x）在[0，4π]內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用即可化簡函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式及五點(diǎn)法即可作出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=$\frac{1}{2}×3cos\frac{x}{3}cos\frac{x}{6}$-$\frac{1}{2}×3×sin\frac{x}{3}×sin\frac{x}{6}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=$\frac{3}{2}$cos（$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{6}$）+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
（2）在給定的坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)f（x）在[0，4π]內(nèi)的圖象如下：

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于基本知識的考查．