Question

（本小題滿分14分）設函數．

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）已知,（）是函數在的圖象上的任意兩點，且滿足，求a的最大值；

（3）設，若對于任意給定的，方程在內有兩個不同的實數根，求a的取值范圍．（其中是自然對數的底數）

 

Answer 1

（1）函數的單調遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是；（2）3

（3）.

【解析】

試題分析：（1）函數在某個區(qū)間內可導，則若，則在這個區(qū)間內單調遞增，若，則在這個區(qū)間內單調遞減；（2）利用導數方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構造函數，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數，其中一個重要的技巧就是找到函數在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式；（3））對于恒成立的問題，常用到兩個結論：（1），（2），（4）解決含有參數的單調性的問題，要注意分類討論和數形結合的思想.

試題解析：（1）， 1分

由，得，該方程的判別式△＝，

可知方程有兩個實數根，又，故取，

當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．

則函數的單調遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是． 3分

（2）不妨設，不等式轉化為，

令，可知函數在區(qū)間上單調遞減，故恒成立，

故恒成立，即恒成立． 5分

當時，函數單調遞增，故當時，函數取得最小值3，則實數的取值范圍是，則實數的最大值為3． 7分

（3），當時，，是增函數；當時，，是減函數．可得函數在區(qū)間的值域為． 9分

令，則，

由，結合（1）可知，方程在上有一個實數根，若，則在上單調遞增，不合題意，可知在有唯一的解，且在上單調遞增；在上單調遞減． 10分

因為，方程在內有兩個不同的實數根，所以，且． 11分

由，即，解得．

由，即，，

因為，所以，代入，得，

令，可知函數在上單調遞增，而，則，

所以，而在時單調遞增，可得，

綜上所述，實數的取值范圍是 14分.

考點：1、利用導數求函數的單調區(qū)間；2、利用導數求函數的最值；3、方程根的個數.