Question

8．已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在y軸上，且過點（2，1）．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+t與圓x²+（y+1）²=1相切，且與拋物線交于不同的兩點M，N，若△MON的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設拋物線方程為x²=2py，把點（2，1）代入運算求得p的值，即可求得拋物線的標準方程；
（Ⅱ） 由直線與圓相切可得$\frac{|t+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得到k²=t²+2t，把直線方程代入拋物線方程并整理，由△＞0求得t的范圍．利用弦長公式求得|MN|，由點到直線距離公式求得點O到直線的距離，結(jié)合△MON的面積為4求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ） 設拋物線方程為x²=2py（p＞0），
由已知得：2²=2p，即p=2，
∴拋物線的標準方程為 x²=4y；
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+t與圓x²+（y+1）²=1相切，
∴$\frac{|t+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得到k²=t²+2t，
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0．
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜-3．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k且x₁•x₂=-4t，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+16t}=4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+3t}$．
原點O到直線l：y=kx+t的距離為d=$\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
則${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+3t}•\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{{t}^{2}+3t}•|t|=4$，
解得：t=1，代入k²=t²+2t，得k=$±\sqrt{3}$，
∴直線l的方程為：$y=±\sqrt{3}x+1$．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查直線與圓的位置關系，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．