Question

15．設(shè)G是△ABC的重心，P是該平面內(nèi)-點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{GP}$=3$\overrightarrow{GA}$+3$\overrightarrow{GB}$+2$\overrightarrow{GC}$，則△ABP與△ABC的面積之比是（　�。�

• A． 1：2
• B． 1：3
• C． 1：4
• D． 1：5

Answer 1

分析 可作圖：延長(zhǎng)GA到A′，GB到B′，使得GA′=3GA，GB′=3GB，取A′B′的中點(diǎn)D′，連接GD′，設(shè)交AB的中點(diǎn)D，從而可以得到$3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=6\overrightarrow{GD}$，而$2\overrightarrow{GC}=-4\overrightarrow{GD}$，從而可以得到$\overrightarrow{GP}=2\overrightarrow{GD}$，這便由圖得到P為DD′的中點(diǎn)，從而有DP：DC=1：3，從而可以得出△ABP與△ABC的面積之比．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)GA到A′，使GA′=3GA，延長(zhǎng)GB到B′，使GB′=3GB，取A′B′的中點(diǎn)D′，連接GD′交AB的中點(diǎn)D，則：
$\overrightarrow{GA′}=3\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB′}=3\overrightarrow{GB}$；
∴$3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA′}+\overrightarrow{GB′}=2\overrightarrow{GD′}$=$6\overrightarrow{GD}$；
又$\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GD}$；
∴$\overrightarrow{GP}=6\overrightarrow{GD}-4\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GD}$；
∴P為DD′的中點(diǎn)，連接PA，PB，則：
DP：DC=1：3；
∴△ABP與△ABC的面積之比是1：3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，三角形重心的概念，三角形的面積公式．