Question

設f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f （x），當0≤x≤1時，f（x）=x．
（1）求f（3）的值；
（2）當-4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸圍成圖形的面積．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由已知的等式f（x+2）=-f （x）結合函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的周期，把f（3）轉化為f（1）結合當0≤x≤1時，f（x）=x求得f（3）的值；
（2）由已知等式求得函數(shù)的對稱軸方程，結合（1）進一步得到函數(shù)的圖象，再由三角形的面積公式求得f（x）的圖象與x軸圍成圖形的面積．

解答： 解：（1）∵f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f （x），
則f（x+2+2）=-f （x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）的周期為4．
∴f（3）=f（-4+3）=f（-1）=-f（1）．
∵0≤x≤1時，f（x）=x，
∴f（3）=-f（1）=-1；
（2）由f（x+2）=-f （x），得f（x+2）=f（-x）．
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=1．
結合（1）可知，f（x）的圖象如圖：

∴當-4≤x≤4時，f（x）的圖象與x軸圍成圖形的面積為4×

1

2

×2×1=4．

點評：本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性的性質，考查了函數(shù)對稱軸方程的求法，是中檔題．