Question

4．已知關(guān)于x的方程x²+ax+2=0．
（1）若方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若兩實(shí)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若兩實(shí)根x₁，x₂滿足1＜x₁＜x₂＜4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+ax+2，分別根據(jù)根的分布與判別式△的關(guān)系建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)（x）=x²+ax+2，
若方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-8＞0}\\{f（1）=3+a＞0}\\{-\frac{a}{2}＞1}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2\sqrt{2}或a＜-2\sqrt{2}}\\{a＞-3}\\{a＜-2}\end{array}\right.$，即-3＜a＜-2$\sqrt{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，-2$\sqrt{2}$）；
（2）若兩實(shí)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜4，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2＞0}\\{f（1）=3+a＜0}\\{f（4）=18+4a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-3}\\{a＞-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即-$\frac{9}{2}$＜a＜-3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{9}{2}$，-3）；
（3）若兩實(shí)根x₁，x₂滿足1＜x₁＜x₂＜4，
則$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-8≥0}\\{f（1）=3+a＞0}\\{f（4）=18+4a＞0}\\{1＜-\frac{a}{2}＜4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2\sqrt{2}或a≤-2\sqrt{2}}\\{a＞-3}\\{a＞-\frac{9}{2}}\\{-8＜a＜-2}\end{array}\right.$，即-3＜a≤-2$\sqrt{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍（-3，-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)根的分別，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用判別式△與根的分布是解決本題的關(guān)鍵．