Question

11．在[0，π]內(nèi)，方程a（1-2sin²x）+3asinx-2=0有且僅有兩解．求a的范圍．

Answer 1

分析 作函數(shù)y=sinx，x∈[0，π]的圖象及f（t）=1-2t²+3t（0≤t≤1）的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：作函數(shù)y=sinx，x∈[0，π]的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)0≤t＜1時，方程sinx=t有兩個不同的解，
當(dāng)t=1時，方程sinx=t有且只有一個解；
∵a（1-2sin²x）+3asinx-2=0，
∴a（1-2sin²x+3sinx）-2=0，
∴1-2sin²x+3sinx=$\frac{2}{a}$，
令sinx=t（0≤t≤1），作函數(shù)f（t）=1-2t²+3t（0≤t≤1）的圖象如下，
，
f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{17}{8}$，f（0）=1，f（1）=1-2+3=2，
結(jié)合兩個函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)$\frac{2}{a}$=$\frac{17}{8}$或1≤$\frac{2}{a}$＜2，即a=$\frac{16}{17}$或1＜a≤2時，
方程a（1-2sin²x）+3asinx-2=0有且僅有兩解．
故a的范圍為（1，2]∪{$\frac{16}{17}$}．

點評 本題考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用．