17.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=C1C=AC=2,D是A1C1上的一點(diǎn),E是A1B1的中點(diǎn),C1D=kA1C1
(Ⅰ) 當(dāng)k為何值時(shí),B,C,D,E四點(diǎn)共面;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下,求四棱錐A-BCDE的體積.

分析 (Ⅰ)由題意可知,k=$\frac{1}{2}$時(shí),B,C,D,E四點(diǎn)共面.然后利用三角形中位線(xiàn)定理可知DE∥B1C1,再由B1C1∥BC,得DE∥BC,由此說(shuō)明B,C,D,E四點(diǎn)共面;
(Ⅱ)在三棱錐A-BCD中,利用等積法求出點(diǎn)A到平面BCDE的距離h,然后代入四棱錐的體積公式求得答案.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí),B,C,D,E四點(diǎn)共面.
事實(shí)上,若k=$\frac{1}{2}$,則D是A1C1的中點(diǎn),
又E是A1B1的中點(diǎn),∴DE∥B1C1
又B1C1∥BC,∴DE∥BC,則B,C,D,E四點(diǎn)共面;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下,即D為A1C1的中點(diǎn),
又A1A⊥平面ABC,A1ACC1是矩形,
此時(shí),$CD=\sqrt{{C_1}{C^2}+{C_1}{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$,
又A1A⊥平面ABC,∴BC⊥A1A,又BC⊥AC,
∴BC⊥平面ACD,由VA-BCD=VB-ACD,
設(shè)點(diǎn)A到平面BCDE的距離h,則$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BC•CD•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BC•AC•{A_1}A$,
∴$h=\frac{AC•{A_1}A}{CD}=\frac{2•2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$,
則${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•({BC+DE})•CD•h$=$\frac{1}{6}•({2+1})\sqrt{5}•\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=2$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判斷,考查了棱錐體積的求法,訓(xùn)練了等積法,是中檔題.

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