Question

7．如圖所示將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（色括兩個端點）有n（n＞l，n∈N^*）個點，相應的圖案中總的點數記為a_n，則$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 根據圖象的規(guī)律可得出通項公式a_n，根據數列{$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$}的特點可用列項法求其前n項和的公式，而則$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$是前2015項的和，代入前n項和公式即可得到答案．

解答 解：每個邊有n個點，把每個邊的點數相加得3n，這樣角上的點數被重復計算了一次，故第n個圖形的點數為3n-3，即a_n=3n-3，
令S_n=$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{n-1}{n}$
$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$+=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$$-\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點評 本題主要考查簡單的和清推理，求等差數列的通項公式和用裂項法對數列進行求和問題，同時考查了計算能力，屬中檔題．