Question

5．如圖是兩個獨立的轉(zhuǎn)盤（A）、（B），在兩個圖中三個扇形區(qū)域的圓心角分別為60°、120°、180°．用這兩個轉(zhuǎn)盤進行游戲，規(guī)則是：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤待指針停下（當兩個轉(zhuǎn)盤中任意一個指針恰好落在分界線時，則這次轉(zhuǎn)動無效，重新開始），記轉(zhuǎn)盤（A）指針所對的區(qū)域為x，轉(zhuǎn)盤（B）指針所對的區(qū)域為y，x、y∈{1，2，3}，設x+y的值為ξ．
（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記轉(zhuǎn)盤A指針指向1，2，3區(qū)域的事件為A₁，A₂，A₃，同理轉(zhuǎn)盤B指針指向1，2，3區(qū)域的事件為B₁，B₂，B₃，由P=P（A₁）P（1-P（B₁）），能求出x＜2且y＞1的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為2，3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）記轉(zhuǎn)盤A指針指向1，2，3區(qū)域的事件為A₁，A₂，A₃，
同理轉(zhuǎn)盤B指針指向1，2，3區(qū)域的事件為B₁，B₂，B₃，
∴P（A₁）=$\frac{1}{6}$，P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=$\frac{1}{2}$，
P（B₁）=$\frac{1}{3}$，P（B₂）=$\frac{1}{2}$，P（B₃）=$\frac{1}{6}$，
P=P（A₁）P（1-P（B₁））
=$\frac{1}{6}$×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{6}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$．…（5分）
（2）由已知得ξ的可能取值為2，3，4，5，6，
P（ ξ=2）=P（A₁）P（B₁）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$=$\frac{6}{108}$，
P（ξ=3）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{21}{108}$，
P（ξ=4）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{39}{108}$，
P（ ξ=5）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{33}{108}$，
P（ξ=6）=P（A₃）P（B₃）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{9}{108}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{6}{108}$	$\frac{21}{108}$	$\frac{39}{108}$	$\frac{33}{108}$	$\frac{9}{108}$

Eξ=$\frac{12+63+156+165+54}{108}$=$\frac{25}{6}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．