Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$+$\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$
（1）將函數(shù)f（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并指出函數(shù)|f（x）|的最小正周期；
（3）求函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{6}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差正弦函數(shù)，化簡求解即可．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性化簡求解單調(diào)區(qū)間，然后求解函數(shù)的周期．
（3）通過角的范圍，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{6}}}{2}sinx+\sqrt{2}（\frac{1+cosx}{2}）$=$\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為$[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]$，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期為2π，
∴|f（x）|的最小正周期為2π（注意，因?yàn)樯弦屏�，所以|f（x）|周期沒有改變）
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$
故當(dāng)x=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）有最小值$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$；
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）有最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的最值以及單調(diào)性三角函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力．