Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）若b=-1，且f（1）≥0，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，b=2，解不等式f（x）＜0，
（3）設(shè)常數(shù)b＜2

2

-3，且對任意的x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意，|1-a|-1≥0，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）不等式可化為x|x-1|+2＜0，分類討論，可得結(jié)論；
（3）分類討論：①當x=0時a取任意實數(shù)不等式恒成立；②當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉(zhuǎn)化為x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立問題，下面利用函數(shù)g（x）=x+

b

x

的最值即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，|1-a|-1≥0，∴a≤0或a≥2；
（2）不等式可化為x|x-1|+2＜0，即

x≥1 x2-x+2＜0

或

x＜1 x2-x-2＞0

∴x＜1，
∴不等式的解集為{x|x＜1}；
（3）由b＜2

2

-3＜0，當x=0時a取任意實數(shù)不等式恒成立
當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b
令h（x）=x-

b

x

，則h（x）在（0，

-b

]上單調(diào)遞減，[

-b

，+∞）單調(diào)遞增
1°當b＜-1時h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°當-1≤b＜2

2

-3時，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．

點評：本小題主要考查充要條件、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．