Question

19．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)重合，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為1列式，再結(jié)合隱含條件求解．

解答 解：如圖，
由拋物線方程y²=8x，得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），
即雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），
雙曲線的漸近線方程為$y=±\frac{a}x$．
不妨取y=$\frac{a}x$，化為一般式：bx-ay=0．
則$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=1$，即4b²=a²+b²，
又a²=4-b²，聯(lián)立解得：a²=3，∴a=$\sqrt{3}$．
則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線及拋物線的幾何性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．