Question

4．若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x比1接近3，求x的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）定義域D=（-∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），對于任意的x∈D，f（x）等于x²-2x與x中接近0的那個值，寫出函數(shù)f（x）的解析式，若關(guān)于x的方程f（x）-a=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求出a的取值范圍；
（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求證：$\frac{a+mb}{m+1}$比$\sqrt{\frac{{{a^2}+m{b^2}}}{m+1}}$接近0．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)定義，問題等價(jià)為|2x-3|＜|1-3|，解出即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的解析式并畫出函數(shù)圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，求a的取值范圍；
（3）直接運(yùn)用作差法比較兩式的大�。�

解答 解：（1）因?yàn)?x比1接近3，所以|2x-3|＜|1-3|，
即|2x-3|＜2，解得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$，
所以，x的取值范圍為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
（2）分類討論如下：
①當(dāng)x²-2x比x接近于0時(shí)，|x²-2x|＜|x|，
解得，x∈（1，3），
②當(dāng)x比x²-2x接近于0時(shí)，|x²-2x|＞|x|，
解得，x∈（-∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），
所以，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2-2x，x∈（1，3）}\\{x，x∈（-∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞）}\end{array}\right.$，
畫出f（x）的圖象，如右圖，
因?yàn)榉匠蘤（x）=a有兩個實(shí)根，根據(jù)函數(shù)圖象得，
a∈（-1，0）∪（0，1）；
（3）對兩式$\frac{a+mb}{m+1}$，$\sqrt{\frac{{{a^2}+m{b^2}}}{m+1}}$平方作差得，
△=（$\sqrt{\frac{{{a^2}+m{b^2}}}{m+1}}$）²-（$\frac{a+mb}{m+1}$）2
=$\frac{（m+1）（a^2+mb^2）-（a+bm）^2}{（m+1）^2}$=$\frac{m（a-b）^2}{（m+1）^2}$，
因?yàn)閍，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，
所以，$\sqrt{\frac{{{a^2}+m{b^2}}}{m+1}}$＞|$\frac{a+mb}{m+1}$|，
即$\frac{a+mb}{m+1}$比$\sqrt{\frac{{{a^2}+m{b^2}}}{m+1}}$接近0．

點(diǎn)評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，分段函數(shù)解析式的確定，和不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于難題．