Question

7．對于函數(shù)f（x），設(shè)k＞0，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，其值域?yàn)閇ka，kb]，稱區(qū)間[a，b]為函數(shù)f（x）的k倍值區(qū)間．下列函數(shù)存在5倍值區(qū)間的是：②③④．（填序號）
①f（x）=5x+1；②$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$；③f（x）=x³；④f（x）=2^x；⑤f（x）=lgx．

Answer 1

分析 由題意，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定值域的求法，作圖判斷f（x）=2^x與f（x）=lgx即可．

解答 解：①∵f（x）=5x+1在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，
∴5a+1=5a，5b+1=5b，無解；
∴函數(shù)f（x）=5x+1不存在5倍值區(qū)間；
②若b≤2，則令-$\frac{1}{2}$b²+2b=5b，
解得，b=-6或b=0，
$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$存在5倍值區(qū)間[-6，0]；
③若f（x）=x³在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，
令x³=5x解得，
x=0，x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$；
故f（x）=x³存在5倍值區(qū)間[-$\sqrt{5}$，0]；
④作函數(shù)f（x）=2^x與y=5x的圖象如下，

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故方程2^x=5x有兩個(gè)不同的解，設(shè)為x₁，x₂，
故f（x）=2^x存在5倍值區(qū)間[x₁，x₂]．
⑤作函數(shù)f（x）=lgx與y=5x的圖象如下，
，
故函數(shù)f（x）=lgx不存在5倍值區(qū)間．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．