Question

2．定義：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}，{f^'}（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+a是區(qū)間[0，a]上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，3）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：方程${x^2}-2x=\frac{1}{3}{a^2}-a$在區(qū)間[0，a]有兩個(gè)解，解不等式組解出即可．

解答 解：由題意可知，在區(qū)間[0，a]上存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足${f^'}（{x_1}）={f^'}（{x_2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a-0}=\frac{{\frac{1}{3}{a^3}-{a^2}}}{a}=\frac{1}{3}{a^2}-a$，
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+a$，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程${x^2}-2x=\frac{1}{3}{a^2}-a$在區(qū)間[0，a]有兩個(gè)解，
令$g（x）={x^2}-2x-\frac{1}{3}{a^2}+a，（0＜x＜a）$，
則$\left\{\begin{array}{l}△=4+\frac{4}{3}{a^2}-4a＞0\\ g（0）=\frac{1}{3}{a^2}+a＞0\\ g（a）=\frac{2}{3}{a^2}-a＞0\\ a＞1\end{array}\right.$，解得：$\frac{3}{2}＜a＜3$，
故答案為：$（\frac{3}{2}，3）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解不等式問題，理解所給 定義是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．