Question

4．橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點P到上頂點距離的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． 不存在最大值

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點P（2cosθ，sinθ），上頂點B（0，1），由此利用兩點間距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點P（2cosθ，sinθ），
上頂點B（0，1），
|PB|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ-1）^{2}}$
=$\sqrt{5-3si{n}^{2}θ-2sinθ}$
=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}}$≤$\sqrt{\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點P到上頂點距離的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓上的點P到上頂點距離的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程和兩點間距離公式的合理運用．