Question

8．袋中裝有大小相等，質(zhì)地均勻的4個(gè)小球，其中有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，游戲規(guī)則如下：甲每次從袋中任取一球，記錄后放回，共取3次；乙一次性從袋中取3個(gè)球，并記錄下顏色，甲、乙兩人取球互不影響，求：
（1）甲取球3次后記錄所得的黑球次數(shù)大于乙所取黑球個(gè)數(shù)的概率；
（2）設(shè)甲每次取到黑球得1分，取到白球得0分，游戲結(jié)束后甲所得總分為X，乙所得的總分為Y（取到1個(gè)黑球得1分，取到2個(gè)黑球得2分），記ξ=|X-Y|，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）甲取球3次后記錄所得的黑球次數(shù)大于乙所取黑球個(gè)數(shù)，包含兩種情況：①甲取到三次黑球，乙至多取到兩個(gè)黑球；②甲取到二次黑球，乙至多取到一個(gè)黑球．由此能求出甲取球3次后記錄所得的黑球次數(shù)大于乙所取黑球個(gè)數(shù)的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，Y的可能取值為1，2，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）甲取球3次后記錄所得的黑球次數(shù)大于乙所取黑球個(gè)數(shù)，包含兩種情況：
①甲取到三次黑球，乙至多取到兩個(gè)黑球，其概率為：p₁=（$\frac{1}{2}$）³•（1-0）=$\frac{1}{8}$；
②甲取到二次黑球，乙至多取到一個(gè)黑球，其概率為：p₂=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$•（1-$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{3}}$）=$\frac{3}{16}$；
∴甲取球3次后記錄所得的黑球次數(shù)大于乙所取黑球個(gè)數(shù)的概率：
p=p₁+p₂=$\frac{1}{8}+\frac{3}{16}$=$\frac{5}{16}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，Y的可能取值為1，2，∴ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{3}}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=1）=$（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{3}}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{3}}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$•$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{3}}$+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=2）=$（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{3}}$+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{3}}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．