Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²
（1）求x∈[-2，0]時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（9）和f（-9）的值；
（3）猜想：f（x）在R上的奇偶性（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x∈[-2，0]，則x+2∈[0，2]，f（x）=-f（x+2）由此關(guān)系求出求出x∈[-2，0]上的解析式．
（2）先判斷函數(shù)為以4為周期的周期函數(shù)，即可求出f（9）和f（-9）的值；
（3）根據(jù)函數(shù)在[-2，2]上為奇函數(shù)，可以猜想f（x）在R上為奇函數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)x∈[-2，0]，則x+2∈[0，2]，
∴f（x）=-f（x+2）=-2（x+2）+（x+2）²=x²+2x，
（2）函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為4，
∴f（9）=f（2×4+1）=f（1）=2-1=1，
f（-9）=f（-2×4-1）=f（-1）=1-2=-1；
（3）∵當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x∈[0，2]}\\{{x}^{2}+2x，x∈[-2，0]}\end{array}\right.$，
∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-{x}^{2}}\\{{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$=-f（x），
∴f（x）在[-2，2]上為奇函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，
于是可以猜想f（x）在R上為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，做題時(shí)要善于利用恒等式，屬于中檔題．