Question

5．已知直線(xiàn)：$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1（a，b為給定的正常數(shù)，θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））構(gòu)成的集合為S，給出下列命題：
①當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，S中直線(xiàn)的斜率為$\frac{a}$；
②S中的所有直線(xiàn)可覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面．
③當(dāng)a=b時(shí)，存在某個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)到S中的所有直線(xiàn)的距離均相等；
其中正確的是③（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．

Answer 1

分析 ①當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，S中直線(xiàn)的斜率為k=-$\frac{a}$；②（0，0）不滿(mǎn)足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1，S中的所有直線(xiàn)不可能覆蓋整個(gè)平面；③當(dāng)a=b時(shí)，方程變?yōu)閤sinθ+ycosθ=a，存在定點(diǎn)（0，0），該定點(diǎn)到S中的所有直線(xiàn)的距離均相等．

解答 解：①當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，直線(xiàn)方程變?yōu)?\frac{\sqrt{2}x}{2a}+\frac{\sqrt{2}y}{2b}=1$
S中直線(xiàn)的斜率為k=-$\frac{a}$，故①錯(cuò)誤；
②∵（0，0）不滿(mǎn)足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1，∴S中的所有直線(xiàn)不可覆蓋整個(gè)平面，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)a=b時(shí)，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點(diǎn)（0，0），該定點(diǎn)到S中的所有直線(xiàn)的距離均相等，故③正確．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查直線(xiàn)系方程的應(yīng)用，要明確直線(xiàn)系中直線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷各個(gè)命題的正確性，是中檔題．