Question

3．如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使$∠CAB=\frac{π}{4}$，$∠DAB=\frac{π}{3}$．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題：

（1）求點(diǎn)D到平面ABC的距離；
（2）在BD弧上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)，可得DE⊥AO，再由面面垂直的性質(zhì)定理，可得DE⊥面ABC．DE即為點(diǎn)D到面ABC的距離．由AB=2，解直角三角形即可得到所求；
（2）BD弧上存在一點(diǎn)G，滿(mǎn)足DG=GB，使得FG∥面ACD．通過(guò)中位線定理可得面FOG∥面ACD，再由性質(zhì)定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ADO中，AO=DO，且$∠OAD=\frac{π}{3}$，∴AO=DO=AD．
又E是AO的中點(diǎn)，∴DE⊥AO．又∵面ABC⊥面AOD，
且面ABC∩面AOD=AO，DE?面AOD，
∴DE⊥面ABC．∴DE即為點(diǎn)D到面ABC的距離．
又$DE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•AO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴點(diǎn)D到面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（2）BD弧上存在一點(diǎn)G，滿(mǎn)足DG=GB，使得FG∥面ACD．      
理由如下：
連結(jié)OF，F(xiàn)G，OG，則△ABC中，F(xiàn)，O為BC，AB的中點(diǎn)．∴FO∥AC．
又∵FO?面ACD，AC?面ACD，∴FO∥面ACD，
∵$∠BAD=\frac{π}{3}$，且G為BD弧的中點(diǎn)，∴$∠BOG=\frac{π}{3}$．∴AD∥OG．
又OG?面ACD，AD?面ACD，∴OG∥面ACD．
且FO∩OG=O，F(xiàn)O，OG?面FOG．∴面FOG∥面ACD．
又FG?面FOG，∴FG∥面ACD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，注意運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，考查線面平行的判定，注意運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理，考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想和推理及運(yùn)算能力，屬于中檔題．