Question

13．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162 平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400 元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248 元/米，池底建造單價(jià)為80 元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．
（1 ）試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；
（2 ）若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過16 米，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低．

Answer 1

分析 （1）污水處理池的底面積一定，設(shè)寬為x米，可表示出長(zhǎng)，從而得出總造價(jià)f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長(zhǎng)和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價(jià)函數(shù)f（x）在x的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值變化情況，求得最小值．

解答 解：（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長(zhǎng)為$\frac{162}{x}$米．
則總造價(jià)f（x）=400×（2x+2×$\frac{162}{x}$）+248×2x+80×162=1296x+$\frac{1296×100}{x}$+12960
=1296（x+$\frac{100}{x}$）+12960≥1296×2×$\sqrt{x•\frac{100}{x}}$+12960=38880（元），
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{100}{x}$（x＞0），即x=10時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)長(zhǎng)為16.2 米，寬為10 米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880 元．
（2）由限制條件知$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤16}\\{0＜\frac{162}{x}≤16}\end{array}\right.$，∴10$\frac{1}{8}$≤x≤16
設(shè)g（x）=x+$\frac{100}{x}$（10$\frac{1}{8}$≤x≤16）．g（x）在[10$\frac{1}{8}$，16]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=16時(shí)，g（x）有最小值，即f（x）有最小值．
∴當(dāng)長(zhǎng)為16 米，寬為10$\frac{1}{8}$米時(shí)，總造價(jià)最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，還考查了函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算能力．