Question

18．已知{a_n}是首項為a₁，公差為d的等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，且S₅=5，S₆=-3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè){b_n-2a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．求數(shù)列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知S₆、S₅的值聯(lián)立方程組求解等差數(shù)列的首項和公差，則等差數(shù)列的通項公式和前n項和可求；
（Ⅱ）由{b_n-2a_n}是等比數(shù)列寫出其通項公式，在把a_n代入b_n-2a_n可求數(shù)列{b_n}的通項公式，然后利用分組求和得到數(shù)列{b_n}的其前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由S₅=5，S₆=-3，有$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=5}\\{6{a}_{1}+15d=-3}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=-3，
∴a_n=7+（n-1）×（-3）=-3n+10--------（3分）
∴S_n=$\frac{n[7+（-3n+10）]}{2}$=-$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{17}{2}n$；--------（5分）
（Ⅱ）由題意有b_n-2a_n=3^n-1，又由（1）有b_n=3^n-1+20-6n----（7分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n-1+2an）
=1+3+…+3^n-1+2（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-3{n}^{2}+17n$-----（10分）

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式，訓練了數(shù)列的分組求和方法，是中檔題．