Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-a|x-1|．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，解不等式f（x）＞5；
（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2時(shí)，根據(jù)否定即可解不等式f（x）＞5，
（2）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為求值函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=|x+1|+2|x-1|，
則不等式f（x）＞5等價(jià)為|x+1|+2|x-1|＞5；
若x≥1，則不等式等價(jià)為x+1+2（x-1）＞5，即3x＞6，得x＞2，此時(shí)x＞2，
若-1＜x＜1，則不等式等價(jià)為x+1-2（x-1）＞5，即-x＞2，得x＜-2，此時(shí)-1＜x＜1，
若x≤-1，則不等式等價(jià)為-（x+1）-2（x-1）＞5，即-3x＞4，得x＜-$\frac{4}{3}$，此時(shí)x＜-$\frac{4}{3}$，
綜上不等式的解為x＞2或-1＜x＜1或x＜-$\frac{4}{3}$，
即不等式的解集為{x|x＞2或-1＜x＜1或x＜-$\frac{4}{3}$}．
（2）若f（x）≤a|x+3|，
則|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x-1|+|x+3|），
即a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|
∴$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$$≤\frac{|x+1|}{2|x+1|}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x≥1或x≤-3時(shí)，取等號，
即a≥$\frac{1}{2}$，
則a的取值范圍a≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．