Question

2．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，D為棱BC上的-點(diǎn)，在截面ADC₁中，若∠ADC₁=90°，求二面角D-AC₁-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由已知，直三棱柱的側(cè)面均為正方形，
∵∠ADC₁=90^o，即AD⊥C₁D．又CC₁⊥平面ABC
∴AD⊥CC₁．∴AD⊥側(cè)面BC₁，∴AD⊥BC，
∴D為BC的中點(diǎn)．                                           
過(guò)C作CE⊥C₁D于E，
∵平面ADC₁⊥側(cè)面BC₁，
∴CE⊥平面ADC₁．取AC₁的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，則CF⊥AC₁．
連結(jié)EF，則EF⊥AC₁（三垂線定理）
∴∠EFC是二面角D-AC₁-C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}$．
∵BC=CC₁=a
易求得  CE=$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∴sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}=\frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角D-AC₁-C的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．