Question

6．已知實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y-3≤0}\end{array}\right.$，若不等式m（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，則實數m的最大值是$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 利用分式不等式的性質將不等式進行分類，結合線性規(guī)劃以及恒成立問題．利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由題意知：可行域如圖，
又∵m（x²+y²）≤（x+y）²在可行域內恒成立．
且m≤$\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$，
故只求z=$\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}$的最大值即可．
設k=$\frac{y}{x}$，則有圖象知A（2，3），
則OA的斜率k=$\frac{3}{2}$，BC的斜率k=1，
由圖象可知即1≤k≤$\frac{3}{2}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在1≤k≤$\frac{3}{2}$，
上為增函數，
∴當k=$\frac{3}{2}$時，z取得最大值z=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{6}$，
此時1+$\frac{2}{z}$=1+$\frac{2}{\frac{13}{6}}$=1+$\frac{12}{13}$=$\frac{25}{13}$，
故m≤$\frac{25}{13}$，
故m的最大值為$\frac{25}{13}$，
故答案為：$\frac{25}{13}$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃、基本不等式、還有函數知識考查的綜合類題目．在解答過程當中，同學們應該仔細體會數形結合的思想、函數思想、轉化思想還有恒成立思想在題目中的體現(xiàn)．