Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且{a_n}滿足：a₁=3，S_n=2a_n+n（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（-1）ⁿ•log₂（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=2a_n+n可推出Sn-1=2a_n-1+（n-1）從而可得數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)_n=3ⁿ-1；
（2）b_n=n（-1）ⁿ），{b_n}等差乘以等比數(shù)列，從而可以用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n+n，
得Sn-1=2a_n-1+（n-1），（n≥2）
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1-1，（n≥2）
a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}為等比數(shù)列，公比為2
又a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1
（2）b_n=（-1）ⁿ•log₂（a_n-1）=n（-1）ⁿ
∴T_n=1×（-1）¹+2×（-1）²+3×（-1）³+…+（n-1）（-1）^n-1+n×（-1）ⁿ ①
-T_n=1×（-1）²+2×（-1）³+3×（-1）⁴…（n-1）×（-1）ⁿ+n×（-1）ⁿ⁺¹ ②
①-②得2T_n=1×（-1）¹+1×（-1）²+1×（-1）³+…+1×（-1）ⁿ-n×（-1）ⁿ⁺¹
2T_n=$\frac{1}{2}$[（-1）ⁿ-1]-n（-1）ⁿ⁺¹
∴T_n=$\frac{1}{4}[（-1）^{n}-1]-\frac{1}{2}n（-1）^{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先應(yīng)該求出數(shù)列的通項(xiàng)，判斷通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法．