Question

16．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n-1（n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n-n，求證：{b_n}是等比數列，并求{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的通項公式及S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=4a_n-3n+1變形可知a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，進而可知數列{b_n}是首項為1、公比為4的等比數列，計算即得結論；
（2）通過（1）可知a_n=n+4^n-1，進而利用分組求和法計算即得結論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，
又∵b_n=a_n-n，
∴b_n+1=4b_n，
又∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴數列{b_n}是首項為1、公比為4的等比數列，
∴b_n=4^n-1（n∈N^*）；
（2）解：由（1）知b_n=a_n-n=4^n-1，
∴a_n=n+4^n-1，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分組求和法，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．