Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n-1（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n-n，求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1=4a_n-3n+1變形可知a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為4的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=n+4^n-1，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，
又∵b_n=a_n-n，
∴b_n+1=4b_n，
又∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為4的等比數(shù)列，
∴b_n=4^n-1（n∈N^*）；
（2）解：由（1）知b_n=a_n-n=4^n-1，
∴a_n=n+4^n-1，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分組求和法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．