Question

7．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將C₁，C₂，C₃的方程化為普通方程，并說明它們分別代表什么曲線；
（2）Q為曲線C₂上的動點，求Q到直線C₃距離的最小值和最大值；
（3）若曲線C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為曲線C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃距離的最小值；
（4）已知點P（x，y）是C₁上的動點，求2x+y的取值范圍；
（5）若x+y+a≥0恒成立，（x，y）在曲線C₁上，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲線C₁，C₂，C₃的普通方程，并能求出它們分別代表什么曲線．
（2）設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），求出點Q到直線C₃距離，由此能求出Q到直線C₃距離的最小值和最大值．
（3）求出M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}sinθ$）和M到C₃的距離，由此能求出PQ中點M到直線C₃距離的最小值．
（4）利用圓的參數(shù)方程級求出2x+y的取值范圍．
（5）利用圓的參數(shù)方程能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為（x+4）²+（y-3）²=1，
它是以（-4，3）為圓心、以1為半徑的圓，
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，是焦點在x軸上的橢圓，
∵直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線C₃的普通方程為x-2y-7=0，是直線．
（2）∵Q為曲線C₂上的動點，∴設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），
點Q到直線C₃距離：d=$\frac{|8cosθ-6sinθ-7|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|10sin（θ+α）-7|$，
∴Q到直線C₃距離的最小值d_min=0和最大值d_max=$\frac{17\sqrt{5}}{5}$．
（3）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}sinθ$），C₃為直線x-2y-7=0，
M到C₃的距離h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ-3sinθ-13|，
從而當(dāng)cos$θ=\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$時，h取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
（4）∵點P（x，y）是C₁上的動點，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$，
∴2x+y=-8+2cosθ+3+sinθ=$\sqrt{5}sin（θ+β）$-5，
∴2x+y的取值范圍是[-5-$\sqrt{5}$，-5+$\sqrt{5}$]．
（5）∵（x，y）在曲線C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$，
∴x+y=-4+cosθ+3+sinθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$-1，
∵x+y+a≥0，$a≥1+\sqrt{2}$，
∴a的取值范圍是[1+$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查點到直線的距離公式的合理運用，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題．