Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）記g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$+m，試討論是否存在x₀∈（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），使得g（x₀）=f（1）成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，可得最小值；
（2）假設(shè)存在x₀∈（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），使得g（x₀）=f（1）成立．則方程g（x）=f（1）在區(qū)間（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）上有解，求出m=-$\frac{1}{3}$x³+x，設(shè)φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，求出導(dǎo)數(shù)，求得x=1是φ（x）的最大值點(diǎn)，求出最大值，畫出圖象，討論m的范圍，即可得到所求的結(jié)論．

解答 解：（1）由題設(shè)，當(dāng)m=e時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$　　　　　　　　　　
即有當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增；
則當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；　　　　　
（2）假設(shè)存在x₀∈（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），使得g（x₀）=f（1）成立．
則方程g（x）=f（1）在區(qū)間（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）上有解，
由g（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$x+m=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{3}$x+m（x＞0），f（1）=m，
方程g（x）=f（1）可化為m=-$\frac{1}{3}$x³+x，
設(shè)φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
則φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＞0，此時(shí)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＜0，此時(shí)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以x=1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x=1也是φ（x）的最大值點(diǎn)，
φ（x）的最大值為φ（1）=-$\frac{1}{3}$+1=$\frac{2}{3}$　　　　　　　　　　　　
又φ（0）=φ（$\sqrt{3}$）=0，結(jié)合y=φ（x）的圖象，
可知①當(dāng)m＞$\frac{2}{3}$或m=0時(shí)，方程g（x）=f（1）
在區(qū)間（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）上無(wú)解；
②當(dāng)0＜m＜$\frac{2}{3}$時(shí)，方程g（x）=f（1）
在區(qū)間（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）上有兩解；
③當(dāng)m＜0或m=$\frac{2}{3}$時(shí)，方程g（x）=f（1）
在區(qū)間（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）上有一個(gè)解．
綜上所述，當(dāng)m＞$\frac{2}{3}$或m=0時(shí)，不存在x₀∈（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），
使得g（x₀）=f（1）；
當(dāng)m≤$\frac{2}{3}$且m≠0時(shí)，存在x₀∈（0，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），使得g（x₀）=f（1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．